Евгений Александрович Глебов родился 10 сентября 1929 года в Рославле (ныне в Смоленской области, Россия). В 1947 году окончил среднюю школу, затем Рославльский техникум железнодорожного транспорта.По окончании техникума работал осмотрщиком вагонов в Могилёве. С юных лет его привлекала музыка. Самостоятельно научился играть на мандолине, гитаре, балалайке и уже в юные годы стал сочинять различные музыкальные произведения.
Во время учебы в Рославльском железнодорожном техникуме руководил студенческим хором и оркестром. Работая в Могилёве, завязал дружбу со студентами Могилёвского музыкального училища и стал изучать основы музыки.
Пытался поступить в музыкальное училище, но директор, узнав, что он не знает нот и никогда не сталкивался с музыкальной грамотой, отказал по причине профнепригодности.
В 1950 году, по совету И. И. Жиновича, как участник художественной самодеятельности был принят на подготовительное отделение Белорусской консерватории в Минске, которую окончил в 1956 году по классу композиции А. В. Богатырёва.
В 1951 году создал своё первое крупное произведение - «Фантазию для фортепиано и симфонического оркестра». Окончил на «отлично» первые 2 курса. На 3-м начал получать сталинскую стипендию. Это были его первые большие деньги.
В 1953-63 гг. преподавал теоретические дисциплины в Минском музыкальном училище, совмещая педагогическую и творческую деятельность с работой заведующего музыкальной частью и дирижёра оркестра в Минском театре юного зрителя.
Работал руководителе эстрадно-симфонического оркестра Гостелерадио БССР и музыкальным редактором киностудии «Беларусьфильм». С 1971 года вел класс композиции в Белорусской государственной консерватории (с 1984 - профессор).
За все годы в консерватории подготовил более 40 учеников, среди которых Леонид Захлевный, Ядвига Поплавская, Василий Раинчик, Эдуард Ханок, Вячеслав Кузнецов, Владимир Кондрусевич, Дмитрий Долгалев.
С 1955 года - член, с 1966 - заместитель председателя правления Союза композиторов Белорусской ССР. Член ревизионной комиссии Союза композиторов СССР. Народный артист Белорусской ССР (1973), Народный артист СССР (1984).
Народный артист Беларуси. Член правления Союза советских обществ дружбы и культурных связей с зарубежными странами. Скончался 12 января 2000 года в Минске. Похоронен на Восточном кладбище.