Анатолий Дмитриевич Быканов родился 20 марта 1937 года в городе Прохладный Кабардино-Балкарской АССР.В 1962 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции С.А.Баласаняна (ранее занимался у Д.Б.Кабалевского).
В 1965 году создал камерный ансамбль «Рококо». Основу ансамбля составляли музыканты Большого симфонического оркестра Центрального телевидения и Всесоюзного радио.
Автор симфонических и инструментальных произведений, музыки к мультфильмам. Профессор Московской консерватории на кафедре сочинения.
Известностью пользовалась его музыка к мультфильмам «Сказка о попе и о работнике его Балде», «Горный мастер», «Салют, Олимпиада!»,
лентам из цикла «Волшебник Изумрудного города», и к самой первой экранизации повести Эдуарда Успенского «Дядя Фёдор, пес и кот».
Является автором оригинальной музыки к телепередаче «Кабачок 13 стульев».
После написания музыки к развлекательной телепередаче, Быканов начал сотрудничать с другими режиссёрами,
а в 1993 вышел последний фильм к которому он написал музыку «Я сама».
Скончался в 2015 году в Москве