Андрей Аванесович Бабаев родился 27 декабря 1923 года в селе Мсмна Мартунинского района Нагорного Карабаха.Начальное музыкальное образование получил в Шуше. В 1950 году окончил Бакинскую консерваторию по классу композиции Кара Караева.
В 1953 году окончил аспирантуру Московской консерватории под руководством Юрия Шапорина.
В 1939-41 гг. работал помощником дирижёра оркестра азербайджанских народных инструментов Азербайджанского радио.
В 1941-45 гг. был художественным руководителем Ансамбля песни и пляски Бакинского гарнизона,
в 1946-47 гг. - руководителем Ансамбля Бакинской филармонии, 1947-50 гг. - хормейстером Ансамбля песни и пляски зтой же филармонии.
С 1950 года жил и работал в Москве.
Автор опер "Арцваберд" (1961), "Багласар-ахпар" (1964), симфонических и фортепианных произведений, музыки для театра и кино, многих песен.
Андрей Бабаев - Заслуженный деятель искусств Армянской ССР (1958).
Умер 21 октября 1964 года. Похоронен на Армянском кладбище в Москве.